Nivå 1
Uppgift 1:
I en påse finns 3 röda, 4 blå och 5 gröna kulor. Du drar en kula på måfå ur påsen.
Hur stor är sannolikheten att kulan du drar är blå? Svara i bråkform eller procent.
FACIT p(blå) = 4 / (3 + 4 + 5) = 2/3 SVAR: Sannolikheten att dra en blå kula är 2/3
Uppgift 2:
En klass med 20 elever fick följande resultat på ett litet matteförhör (poäng från 1 till 5):
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Bestäm observationernas:
a) Typvärde
b) Medelvärde
FACIT a) SVAR: Typvärdet är 5 b) (1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 6 x 4 + 7 x 5)/20 = 3.8 SVAR: Medelvärdet är 3.8
Uppgift 3:
Fem elever mätte sin längd i centimeter. Längderna var:
152 cm, 168 cm, 155 cm, 172 cm och 163 cm.
Beräkna medianen för elevernas längd.
FACIT 152, 155, 163, 168, 172 162 är den mittersta längden SVAR: Medianen för elevernas längd är 162 cm
Uppgift 4:
Ett lyckohjul har 10 lika stora fält numrerade från 1 till 10. Du snurrar hjulet en gång.
Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på ett primtal? (Kom ihåg: 1 är inte ett primtal). Svara i bråkform.
FACIT Primtalen fram tills 10: 2, 3, 5, 7 4st primtal p(primtal) = 4 / 10 = 2/5 SVAR: Sannolikheten att hjulet stannar på ett primtal är 2/5
Uppgift 5:
Ett stolpdiagram visar hur många syskon eleverna i årskurs 9 har:
5 elever har 0 syskon
10 elever har 1 syskon
8 elever har 2 syskon
2 elever har 3 syskon
Hur många elever går det totalt i årskursen, och hur många procent av eleverna har fler än 1 syskon?
FACIT 5 + 10 + 8 + 2 = 25 elever 8 + 2 = 10 elever 10 elever har fler än 1 syskon 10 / 25 = 2 / 5 = 0.4 = 40 % SVAR: 40 % av eleverna har fler än 1 syskon
Nivå 2
Uppgift 1:
I en ask finns det endast röda och vita kulor. Sannolikheten att av slumpen dra en röd kula är 2/5.
Det finns totalt 12 vita kulor i asken.
Hur många kulor finns det totalt i asken?
FACIT 5/5 - 2/5 = 3/5 = 0.6 0.6 = andelen vita kulor Totala antalet = x 12 / x = 0.6 x = 12 / 0.6 = 20 SVAR: Totalt finns det 20 kulor i asken
Uppgift 2:
Medelvärdet av fem tal är 14.
Fyra av talen är 8, 12, 15 och 19.
Bestäm det femte talet och beräkna därefter medianen för alla fem talen.
FACIT 5 x 14 = 70 8 + 12 + 15 + 19 = 54 70 - 54 = 16 8, 12, 15, 16, 19 SVAR: Det femte talet är 16 och medianen är 15
Uppgift 3:
Du kastar två vanliga sexsidiga tärningar och adderar resultaten (tärningssumman).
Hur stor är sannolikheten att summan blir minst 10? Svara i enklaste bråkform.
FACIT Möjliga utfall: 6 x 6 = 36 Summa 10: (6, 4), (5, 5) (4, 6): 3 st Summa 11: (5, 6), (6, 5): 2 st Summa 12: (6, 6): 1 st Totalt antal gynnsamma fall: 3 + 2 + 1 = 6 p(minst 10) = 6 / 36 = 1/6 SVAR: Sannolikheten att summan blir minst 10 är 1/6
Uppgift 4:
En undersökning visade att medelåldern för 4 personer i en grupp var 25 år.
När en femte person gick med i gruppen steg medelåldern för hela gruppen till 28 år.
Hur gammal var den femte personen?
FACIT 25 x 4 = 100 28 x 5 = 140 100 - 140 = 40 SVAR: Den femte personen var 40 år gammal
Uppgift 5:
I en påse finns 3 svarta och 2 vita strumpor. Du drar två strumpor ur påsen utan återläggning.
Hur stor är sannolikheten att du får två strumpor av samma färg? Svara i bråkform eller procent.
FACIT Totalt antal strumpor: 3 + 2 = 5 st P(svart, svart) = 3/5 x 2/4 = 6/20 p(vit, vit) = 2/5 x 1/4 = 2/20 p(samma färg) = 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5 SVAR: Sannolikheten att du får två strumpor av samma färg är 2/5
Nivå 3
Uppgift 1:
I en ask finns det endast svarta och vita kulor. Förhållandet mellan antalet svarta kulor och antalet vita kulor är 3:2.
Du drar två kulor ur asken utan återläggning.
Sannolikheten att den första kulan är svart och den andra kulan är vit är 3/10.
Hur många kulor finns det totalt i asken? Visa med en algebraisk lösning eller strukturerad beräkning.
FACIT Svarta kulor: 3x Vita kulor: 2x p(svart, vit) = (3x/5x) x (2x/(5x - 1)) = (3/5) x (2x/(5x - 1)) = (6x/(25x - 5)) 6x/(25x - 5) = 3/10 60x = 3(25x - 5) 60x = 75x - 15 0 = 75x - 60x - 15 = 15x - 15 0 + 15 = 15x = 15 x = 15 / 15 = 1 5x x 1 = 5 SVAR: Det finns totalt 5 kulor i asken (3 svarta och 2 vita)
Uppgift 2:
I en skolklass med 25 elever är medelåldern 15.2 år.
När klassföreståndaren (läraren) räknas med i gruppen ökar medelåldern till 16.2 år.
Hur gammal är klassföreståndaren?
FACIT Summa elever = 25 x 15.2 = 380 Summa totalt = 26 x 16.2 = 421.2 421.2 - 380 = 41.2 år SVAR: Klassföreståndaren är 41.2 år gammal
Uppgift 3:
En påse innehåller röda och blå kulor. Sannolikheten att dra en röd kula är 3/8.
Du drar två kulor ur påsen med återläggning.
Hur stor är sannolikheten att du drar minst en blå kula? Svara i exakt bråkform.
FACIT Sannolikheten för en blå kula i ett enskilt drag är: 1 − 3/8 = 5/8 Sannolikheten för komplementhändelsen (att dra noll blå kulor, det vill säga två röda i rad): P(röd, röd) = 3/8 x 3/8 = 9/64 Sannolikheten för minst en blå kula: P(minst en blå) = 1 − 9/64 = 55/64 SVAR: Sannolikheten är 55/64.
Uppgift 4:
Tre vanliga sexsidiga tärningar kastas samtidigt.
Beräkna sannolikheten att minst två av tärningarna visar samma antal prickar (dvs. minst ett par). Svara i exakt bråkform.
FACIT Använd komplementhändelsen: P(minst två lika) = 1 − P(alla tre olika) Antal möjliga utfall för tre tärningar: 6 · 6 · 6 = 216 Antal gynnsamma utfall där alla tre tärningar visar olika tal: Tärning 1 kan visa vad som helst (6 möjligheter) Tärning 2 får inte visa samma som tärning 1 (5 möjligheter) Tärning 3 får inte visa samma som någon av de två första (4 möjligheter) Gynnsamma för olika = 6 · 5 · 4 = 120 Sannolikhet att alla visar olika: P(alla olika) = 120/216 = 5/9 Sannolikhet för minst två lika: P(minst två lika) = 1 − 5/9 = 4/9 SVAR: Sannolikheten är 4/9.
Uppgift 5:
En påse innehåller n stycken kulor. Av dessa är 4 stycken röda och resten är blå.
Du drar två kulor ur påsen utan återläggning.
Sannolikheten att båda kulorna är röda är 1/6.
Ställ upp en ekvation och beräkna det totala antalet kulor n i påsen.
FACIT Sannolikheten att först dra en röd kula och sedan en till röd kula utan återläggning: P(röd, röd) = 4/n · 3/(n − 1) = 12 / (n(n − 1)) 12 / (n(n − 1)) = 1/6 n(n − 1) = 12 · 6 n(n − 1) = 72 Eftersom n är ett positivt heltal söker vi två på varandra följande heltal som multiplicerat blir 72: 9 · 8 = 72 → n = 9 SVAR: Det finns totalt 9 kulor i påsen