Nivå 1
Uppgift 1:
En rektangel har sidlängderna 6 cm och 8 cm.
Beräkna rektangelns omkrets och area.
FACIT 6 x 2 = 12 8 x 2 = 16 12 + 16 = 30 cm 6 x 8 = 48 cm² SVAR: Rektangelns omkrets och area är 30 cm respektive 48 cm ²
Uppgift 2:
I en rätvinklig triangel är de två kortare sidorna (kateterna) 3 cm och 4 cm.
Beräkna längden av den längsta sidan (hypotenusan) med hjälp av Pythagoras sats: a² + b² = c².
FACIT 3² + 4² = 9 + 16 = 25 √25 = 5 SVAR: Hypotenusan är 5 cm lång
Uppgift 3:
En cirkel har radien r = 5 cm.
a) Beräkna cirkelns omkrets. (Använd π ≈ 3.14)
b) Beräkna cirkelns area.
(Använd π ≈ 3.14)
FACIT a) O = π x d d = 2r = 2 x 5 = 10 O ≈ 3.14 x 10 ≈ 31.4 cm SVAR: Cirkelns omkrets är 31.4 cm b) A = π x r² ≈ 3.14 x 5² = 78.5 cm² SVAR: Cirkelns area är 78.5 cm²
Uppgift 4:
I en triangel är två av vinklarna 45° och 65°.
Hur stor är den tredje vinkeln?
FACIT Vinkelsumma = 180° Vinkel 3 = v 45° + 65° + v° = 180° 110° + v° = 180° v° = 180° - 110° = 70° SVAR: Den tredje vinkeln är 70°
Uppgift 5:
En rätvinklig triangel har en hypotenusa som är 10 cm och en katet som är 6 cm.
Beräkna längden av den andra kateten.
FACIT a² + b² = c² 6² + b² = 10² = 36 + b² = 100 b² = 100 - 36 = 64 b = √64 = 8 SVAR: Den andra kateten är 8 cm lång
Nivå 2
Uppgift 1:
En liksidig triangel har en omkrets på 18 cm.
En höjd ritas från en av hörnstötarna ner mot motstående sida så att två rätvinkliga trianglar bildas.
Beräkna triangelns höjd med hjälp av Pythagoras sats. Svara med minst en decimals noggrannhet.
FACIT 18 / 3 = 6 cm 6 / 2 = 3 cm a² + b² = c² 3² + b² = 6² = 9 + b² = 36 b² = 36 - 9 = 27 b = √27 ≈ 5.2 cm SVAR: Triangelns höjd är 5.2 cm
Uppgift 2:
En kvadrat har en diagonal som är
10 cm lång.
Beräkna kvadratens sida och därefter dess area.
FACIT a² + b² = c² a = b a² + a² = c² = 2a² = 10² = 100 a² = 100 / 2 = 50 a = √50 cm area = a² = √50 x √50 = 50 cm² SVAR: Kvadratens sida och area är √50 cm respektive 50 cm²
Uppgift 3:
En cirkelbåge har radien r = 6 cm och medelpunktsvinkeln 60°.
Beräkna längden av cirkelbågen. (Avrunda till en decimal,
använd π ≈ 3.14).
FACIT O = 2r x π O = 2 x 6 x 3.14 = 37.68 cm 60° / 360° = 1/6 Cirkelbåge = 37.68 / 6 ≈ 6.3 cm SVAR: Cirkelbågens längd är cirka 6.3 cm
Uppgift 4:
I en rätblockslåda med måtten 3 cm 4 cm x 12 cm ska en rak pinne få plats diagonalt (från ett hörn i botten till motsatt hörn i toppen).
Hur lång är den längsta pinnen som får plats i lådan?
FACIT a² + b² = c² 3² + 4² = c² = 9 + 16 = 25 25 + 12² = pinnens längd² = 169 pinnens längd = √169 = 13 cm SVAR: Den längsta pinnen som får plats i lådan är 13 cm lång
Uppgift 5:
Två likformiga trianglar A och B har skala 1 : 3.
Triangel A har en area på 12 cm².
a) Vad är areaskalan för trianglarna?
b) Beräkna arean av triangel B.
FACIT a) (1:3)² = 1:9 SVAR: Area skalan för trianglarna är 1:9 b) Area B = 12 x 9 = 108 cm² SVAR: Arean av triangel B är 108 cm²
Nivå 3
Uppgift 1:
En cirkel är inskriven i en kvadrat så att cirkeln tangerar kvadratens fyra sidor.
Kvadratens sida är a cm.
Beräkna hur stor andel (i procent) av kvadratens area som täcks av cirkeln. (Svara exakt eller avrunda till hela procent).
FACIT Kvadrat area = a² Cirkelns diameter = a r = d/2 = a/2 Cirkelns area = π x r² π x r² = 3.14a² / 4 = 0.785a² 0.785a² / a² = 0.785 = 78.5 % SVAR: 78.5 % av kvadratens area täcks av cirkeln
Uppgift 2:
I en likbent triangel är de två lika långa sidorna 10 cm och basen är
12 cm.
Inuti triangeln ritas en rektangel så att dess två nedre hörn ligger på triangelns bas och dess två övre hörn ligger på triangelns ben. Rektangelns höjd är 3 cm.
Beräkna rektangelns area genom att använda Pythagoras sats och likformighet.
FACIT 12 / 2 = 6 a² + b² = c² b² = c² - a² 10² - 6² = 100 - 36 = 64 = b² b = √64 = 8 8 / 3 = 8/3 6 / (8/3) = 2.25 2.25 x 2 = 4.5 12 - 4.5 = 7.5 7.5 x 3 = 22.5 cm² SVAR: Rektangelns area är 22.5 cm²
Uppgift 3:
En kon och en cylinder har samma radie r och samma höjd h.
Volymen av cylindern är V cylinder = πr²h och volymen av konen är V kon = (πr²h) / 3.
Om konens volym ökar med 200 %, hur förhåller sig den nya volymen till cylinderns volym? Motivera ditt svar algebraiskt.
FACIT V cylinder = πr²h V kon, ny = 100 % + 200 % = 300% 300 % av originalet = 3 x (πr²h) / 3 3(πr²h) / 3 = πr²h πr²h = πr²h SVAR: Den nya konen har exakt samma volym som cylindern (förhållandet är 1:1)
Uppgift 4:
En romb har diagonaler med längderna 12 cm och 16 cm.
(Kom ihåg: Diagonaler i en romb skär varandra under rät vinkel och halverar varandra).
Beräkna rombens omkrets och dess höjd.
FACIT 12 / 2 = 6 cm 16 / 2 = 8 cm a² + b² = c² 6² + 8² = c² = 36 + 64 = 100 c = √100 = 10 cm O = 4 x 10 = 40 cm A = (d₁ x d₂) / 2 (12 x 16) / 2 = 96 cm² A = b x h A / b = h = 96 / 10 = 9.6 cm SVAR: Romben har omkretsen 40 cm och höjden 9.6 cm.
Uppgift 5:
Tre cirklar med radien r = 4 cm placeras så att de tangerar (nuddar) varandra utvändigt.
Ett elastiskt band spänns runt de tre cirklarna.
Beräkna det elastiska bandets totala längd.
FACIT Bandet består av tre raka sträckor och tre cirkelbågar. De tre raka sträckorna är vardera lika långa som avståndet mellan två cirkelmedelpunkter (2r = 8 cm) 3 x 8 = 24 cm De tre cirkelbågarna bildar tillsammans en hel cirkel med radien r = 4 cm O = 2 x r x π = 2 x π x 4 = 8π 8π ≈ 25.13 cm Total längd = 24 + 8π ≈ 49.1 cm SVAR: Bandets längd är cirka 49.1 cm