Nivå 1
Uppgift 1:
En punkt har x-koordinaten 3 och
y-koordinaten 5. Skriv punktens koordinater på formen (x, y).
FACIT x = 3 y = 5 (x, y) = (3, 5) SVAR: (3, 5)
Uppgift 2:
Formeln y = 50x + 100 beskriver vad det kostar (y kr) att hyra en cykel i x timmar.
Hur mycket kostar det att hyra cykeln i 3 timmar?
FACIT x = 3 y = 50x + 100 = 50 x 3 + 100 y = 250 SVAR: Det kostar 250 kr att hyra cykeln i tre timmar
Uppgift 3:
En linjär funktion ges av formeln
y = 2x - 1.
Bestäm värdet på y när x = 4.
FACIT y = 2x - 1 = 2 x 4 - 1 = 7 y = 7 SVAR: y = 7 när x = 4
Uppgift 4:
En rät linje beskrivs av ekvationen
y = 3x + 2.
a) Vad är linjens k-värde (lutning)?
b) Vad är linjens m-värde (där linjens skär y-axeln)?
FACIT a) SVAR: 3 b) SVAR: 2 SVAR: 1/5 är 20 %
Uppgift 5:
En rät linje går genom origo (0,0) och har k-värdet 3.
Skriv linjens ekvation på formen
y = kx + m.
FACIT Eftersom linjen skär origo kommer m-värdet = 0 y = 3x SVAR: y = 3x
Nivå 2
Uppgift 1:
En rät linje går genom punkterna
(1, 4) och (3, 10).
Bestäm linjens lutning (k-värde).
FACIT k-värde = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) k = (10 - 4) / (3 - 1) = 4 / 6 = 1.5 SVAR: linjens lutning är 1.5
Uppgift 2:
Bestäm ekvationen för den räta linje som är parallell med linjen y = 3x - 5 och som skär y-axeln i punkten (0, 2).
FACIT (0, 2) x = 0 (0, 2) y = 2 y = kx + m = 2 = k x 0 + m = 2 = m För att linjen ska vara parallell måste lutningen vara likadan y = 3x + 2 SVAR: Räntesatsen höjdes med 50 %
Uppgift 3:
Ett taxibolag tar ut en grundavgift på 45 kr och därefter 15 kr per kilometer.
a) Teckna en formel för den totala kostnaden y kr när man åker x km.
b) Hur långt kan du åka om du har 240 kr? Ställ upp en ekvation och lös den.
FACIT a) Grundavgiften = m-värdet = 45 kr kr/km = k-värdet = 15 kr/km y = 15x + 45 SVAR: y = 15x + 45 b) y = 240 kr y = 15x + 45 = 240 15x = 240 - 45 = 195 x = 195 / 15 = 13 SVAR: du kan åka 13 km med 240 kr
Uppgift 4:
En linje har ekvationen y = -2x + 8.
Undersök om punkten (3, 2) ligger på linjen. Motivera med beräkning.
FACIT (3, 2) x = 3 (3, 2) y = 2 y = -2x + 8 = -2 x 3 + 8 = -6 + 8 = 2 y = 2 SVAR: Ja, punkten (3, 2) ligger på linjen.
Uppgift 5:
Två räta linjer har ekvationerna
y = 2x + 1 och y = -x + 7.
Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkt genom att lösa ekvationssystemet algebraiskt eller genom prövning.
FACIT ( y = 2x + 1 ( y = -x + 7 y = 2x + 1 = -x + 7 2x + x + 1 = 7 = 3x + 1 = 7 3x = 7 - 1 = 6 x = 6 / 3 = 2 y = -x + 7 = -2 + 7 = 5 (2, 5) SVAR: Linjernas skärnings punkt är (2, 5)
Nivå 3
Uppgift 1:
En rät linje L₁ går genom punkterna (2, 5) och (6, 17).
En annan rät linje L₂ är vinkelrät mot L₁ och skär y-axeln i samma punkt som L₁.
Bestäm ekvationen för linjen L₂. (Observera: k₁ x k₂= -1 för vinkelräta linjer).
FACIT k₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = = (17 - 5) / (6 - 2) = 12 / 4 = 3 y = kx + m 5 = 3 x 2 + m = 6 + m m = 5 - 6 = -1 k₁ x k₂= -1 = 3 x k₂ = -1 k₂ = -1 / 3 = -1/3 L₂: y = -1/3x - 1 SVAR: ekvationen för linjen L₂ är y = -1/3x - 1
Uppgift 2:
Tre punkter A(1, 2), B(4, 8) och
C(10, y₃) ligger på samma räta linje.
Bestäm värdet på den okända koordinaten y₃.
FACIT k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = = (2 - 8) / (1 - 4) = -6 / -3 = 2 y = kx + m 2 = 2 x 1 + m = 2 + m m = 2 - 2 = 0 y = 2x x₃ = 10 y₃ = 2 x 10 = 20 C(10, 20) SVAR: värdet på y₃ är 20
Uppgift 3:
En rät linje har ekvationen y = kx + m.
Linjen bildar tillsammans med de positiva koordinatxlarna en triangel i första kvadranten.
Linjen går genom punkten (2, 4) och har lutningen k = -2.
Beräkna triangels area.
FACIT y = kx + m y = -2 x 2 + m = 4 = -4 + m m = 4 + 4 = 8 y = -2x + 8 y = 0 = -2x + 8 -2x = 0 - 8 = -8 x = -8/-2 = 4 x = 0 y = -2 x 0 + 8 = 8 (8 x 4) / 2 = 16 SVAR: triangels area är 16 area enheter
Uppgift 4:
Två funktioner beskrivs av:
f(x) = 2x + a
g(x) = ax - 3
Bestäm värdet på konstanten a så att graferna till funktionerna skär varandra i en punkt där x = 2.
FACIT f(x) = g(x) = y (y = 2 x 2 + a = 4 + a (y = 2a - 3 y = 2a - 3 = 4 + a 2a - a - 3 = 4 = a - 3 a = 4 + 3 = 7 a = 7 SVAR: konstanten a är 7
Uppgift 5:
En rät linje går genom origo och punkten (a, b) där a ≠ 0 och b ≠ 0.
En annan linje har ekvationen
y = abx+c där c ≠ 0.
Beskriv det geometriska sambandet mellan de två linjerna och motivera ditt svar.
FACIT Här är texten rensad från alla konstiga tecken, utan ändringar i innehållet: k₁ = (b − 0) / (a − 0) = b / a y₁ = (b / a)x y₂ = (b / a)x + c Båda linjerna har samma k‑värde (k = b / a), men olika m‑värden (0 respektive c). SVAR: Linjerna är parallella eftersom de har samma lutning (k‑värde) men olika skärningspunkter med y‑axeln.